Kartezjański układ współrzędnych

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parami prostopadłych osiach.

Nazwa tego układu pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes) który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

edytuj Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ współrzędnych w którym zadane są:

punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą $O$ lub cyfrą $0$ .
zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
- $O X$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
- $O Y$ (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

edytuj Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu $P$ :

Tworzymy rzut prostokątny punktu $P$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez $P$ i prostopadłą do k-tej osi a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
Wartość w uzyskanym punkcie osi jest k-tą współrzędną $P$ .

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

$x$ – odcięta, łac. abscissa,
$y$ – rzędna, łac. ordinata,
$z$ – kota, łac. aplicata.

Właśnie ze sposobu wyznaczania współrzędnych punktu (poprzez rzut prostokątny) kartezjański układ współrzędnych zyskał również nazwę prostokątnego układu współrzędnych używanego przede wszystkim w szkołach.

edytuj Podział płaszczyzny

Kartezjański układ współrzędnych $(x, y)$ w dwóch wymiarach dzieli płaszczyznę na cztery tzw. ćwiartki układu współrzędnych:

I ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x>0, \; y>0\right\}$ ,
II ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x<0, \; y>0\right\}$ ,
III ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x<0, \; y<0\right\}$ ,
IV ćwiartka – $\left\{(x,\; y): x>0, \; y<0\right\}$ .

edytuj Skrętność przestrzeni trójwymiarowej

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi $O X$ do $O Y$ , to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $O Z$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.